問題 p は素数、n は任意の自然数とします。 (1+n)^p - n^p - 1 が p で割り切れることを証明してください。
解答例 (1+n)^p = Σ[r＝0→p]pCr・1^p-r・n^r=Σ[r＝0→p]pCr・n^r
(1+n)^p -n^p -1=Σ[r＝1→p-1]pCr・n^r
・・・r=0のとき、1
r=pのとき、n^p
右辺は上の二つを除いた和
pCr=p・(p-1)!/(p-r)!r!である。
条件より、pは、素数である。
よって、pCrは、pの倍数である。
n^rは、自然数である。
よって、Σ[r＝1→p-1]pCr・n^rは、pの倍数である。
よって、(1+n)^p -n^p -1は、pの倍数である。
よって、割り切れる。
感想
二項定理の問題。公式を、忘れてた。0!=1も、忘れてた。
その後の証明で、pCr=p・(p-1)!/(p-r)!r!で、pは、素数でない時、pCrは、pの倍数にならない。
例 4C2 = 6
6C2 = 15
素数は、なる。
3C2 = 3
5C2 = 10
不思議。
